Polígonos Equidecomponíveis

Maria Alice Gravina

Existem teoremas simples e interessantes em Matemática, através dos quais podemos desenvolver boa parte de conteúdos que fazem parte dos programas de nossas escolas. Se temos um objetivo bem definido a ser atingido, no caso a demonstração de um resultado interessante, certamente o desenvolvimento de conceitos e propriedades torna-se muito mais significativo, e com isto os alunos aprendem com entusiasmo.

Um exemplo disto é o seguinte teorema:

"Se dois polígonos tem a mesma área então sempre é possível decompor um deles em polígonos menores de modo a compor o outro."

Em outras palavras, podemos decompor os dois polígonos em polígonos menores, dois à dois congruentes. Isto significa que os dois polígonos podem ser decompostos igualmente, e por isto são ditos "polígonos equidecomponíveis".

Em algumas situações, dependendo da forma e do dimensionamento dos polígonos, podemos descobrir fácilmente uma equidecomposição.Por exemplo, nos pares de polígonos abaixo:

 quadrado e retângulo tais que um dos lados do
retângulo é o dobro do lado do quadrado
paralelogramo e retângulo com mesmas bases
e alturas

Para ver equidecomposições clique aqui

Em outras situações uma tal equidecomposição não é obvia. Por exemplo, nas situações abaixo:

 quadrado e retângulo com mesma área
 quadrado e hexágono com mesma área

Como obter uma equidecomposição para estes pares de polígonos?

Para desenvolver o teorema vamos, passo à passo, construir quebra-cabeças. O material aqui apresentado pode ser utilizado de diversas maneiras, dependendo do público a que se dirige:

*Uma abordagem lúdica - são quebra-cabeças que transformam triângulos em retângulos, retângulos em quadrados, dois quadrados num único quadrado e um polígono em quadrado. Podemos explorar as formas geométricas já a partir das primeiras séries do primeiro grau.

*Uma abordagem intuitiva - triângulos, quadrados , retângulos, paralelogramos, paralelismo, perpendicularismo são alguns dos conceitos desenvolvidos na construção dos quebra-cabeças. Aqui o desenho geométrico com régua e compasso é ferramenta importante, já que a precisão das figuras é fundamental na montagem dos quebra-cabeças. É um trabalho que pode ser desenvolvido já a partir da quinta série do primeiro grau.

*Uma abordagem dedutiva - são trabalhadas as demonstrações que nos garantem que os quebra-cabeças estão matematicamente corretos. Para isto são utilizadas propriedades de ângulos e paralelismo, de congruência e semelhança de triângulos, de comprimento e área. É um tratamento adequado para alunos dos últimos anos do primeiro grau.

Este teorema foi demonstrado por F.Bolyai em 1832 e, independentemente, em 1833 por G.Gerwien, um matemático alemão amador. F.Bolyai foi o pai do famoso matemático húngaro Janos Bolyai, criador da Geometria Hiperbólica ( também criada por Lobatchevski e Gauss.
É natural perguntar se resultado análogo é verdadeiro para poliedros. Max Dehn, aluno de Hilbert, provou em 1900 que isto não é verdade: um tetaedro regular e um cubo de mesmo volume não são equidecomponíveis.

Os quebra-cabeças, passo à passo:

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